如果对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,而且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf (x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“λ-伴

如果对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,而且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf (x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“λ-伴

题型:单选题难度:简单来源:不详
如果对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,而且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf (x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“λ-伴随函数”.有下列关于“λ-伴随函数”的结论:①f(x)=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”;②f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”;③“
1
2
-伴随函数”至少有一个零点.其中不正确的序号是(  )
A.①②B.②③C.③D.①
答案
对于①,设f(x)=C(C是常数)是一个“λ-伴随函数”,则f(x+λ)+λf (x)=(1+λ)C=0,
当λ=-1时,C可以取遍实数集,因此f(x)=C(C是常数)必定是“λ-伴随函数”,
可得f(x)=0 不是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”,故①不正确;
对于②,假设f(x)=x2是一个“λ-伴随函数”,则f(x+λ)+λf (x)=(x+λ)2+λx2=0,
即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而找不到λ使此式成立,
所以f(x)=x2不是一个“λ-伴随函数”,故②不正确.
对于③,令x=0,得f(0+
1
2
)+
1
2
f(0)=0,所以f(
1
2
)=-
1
2
f(0).
当f(0)=0时,显然f(x)=0有实数根;
当f(0)≠0时,f(
1
2
)•f(0)=-[
1
2
f(0)]2<0.因为函数f(x)函数图象是连续不断的,
所以f(x)在(0,
1
2
)上必有实数根,
综上所述,因此“
1
2
-伴随函数”至少有一个零点.故③正确.
故答案为:A
举一反三
已知函数f(x)=





x2,x≤0
2x-1,x>0
,若f(x)≥1,则x的取值范围是(  )
A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
对任意正整数x,y都有f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=
1
2
,则
lim
n→∞
[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)]=(  )
A.
1
4
B.1C.-
1
2
D.
1
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)与f(-1)的值;
(2)判断函数的奇偶性并证明;
(3)若x>1时,f(x)>0,求证f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
(4)在(3)的条件下,若f(4)=1,求不等式f(3x+1)≤2的解集.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





3x-6(x≥0)
x+5(x<0)

(1)求f(f(1))的值.
(2)求f(x)值域.
(3)已知f(x)=-10求x.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
某水果产地批发水果,每kg0.4元,100kg为批发起点;100kg至1000kg  9折优惠;1000kg至5000kg,超过1000kg的部分8折优惠;超过5000kg,超过部分7折优惠.
(1)请写出销售额y与销售量x之间的函数关系;
(2)某人用2000元能批发多少kg这种水果?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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