已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，             x≥1的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1）） 处的切线的斜率是-5．

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已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，             x≥1的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1）） 处的切线的斜率是-5．

题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f(x)=





-x3+x2+bx+c，x＜1
alnx，             x≥1
的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1）） 处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值．
答案
（1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，
∴f′（x）=-3x2+2x+b．…（2分）
依题意f′（-1）=-5，
∴-3（-1）2+2（-1）+b=-5，∴b=0，
∴f（0）=0，∴c=0，
∴b=0，c=0．…（4分）
（2）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，
f′（x）=-3x2+2x，令f′（x）=0，有-3x2+2x=0，∴x=0，x=
2
3
．…（6分）
举一反三
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x-1（-1，0）0（0，
2
3
）
2
3
（
2
3
，1）		1
f′（x）-0+0-
f（x）2↘↗↘
函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若y=f（ax2-a2x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零点，求a的范围．
已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上，f(
1
2
)=-1，对任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)成立，又数列{an}满足a1=
1
2
，an+1=
2a
1+
a2n
．
（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(
1
2
)；
（II）求证：数列{f（an）}是等比数列，并求f（an）的表达式；
（III）设cn=
n
2
bn+2，bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
，是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，cn＜
6
7
lo
g22
m-
18
7
log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
已知f(x)=
ax
ax+


a
．
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)=？
（2）是否存在正整数a，使


a
f(n)
f(1-n)
＞n2对一切n∈N都成立．
已知定义域为R，函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若f(1)=
1
2
，则f（-2）等于（　　）
A．
1
2
B．
1
4
C．2D．4
如果f（x）=





x2+1   (x≤0) 
-2x       (x＞0)
那么f（f（1））=______．