解:(Ⅰ)由f(x)的定义可知,f(x)=f1(x)(对所有实数x)等价于f1(x)≤f2(x)(对所有实数x),
这又等价于3|x-p1|≤2·3|x-p2|,即3|x-p1|-|x-p2|≤2对所有实数x均成立,(*)
易知函数|x-p1|-|x-p2|(x∈R)的最大值为|p2-p1| ,
故(*)等价于3|p2-p1|≤2,即|p2-p1|≤log32,这就是所求的充分必要条件.
(Ⅱ)分两种情形讨论.
(ⅰ)当|p1-p2|≤log32时,由(Ⅰ)知f(x)=f1(x)(对所有实数x∈[a,b]),
则由f(a)=f(b)及a<p1<b易知,
再由的单调性可知,
f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度为,如下图,
(ⅱ)当|p1-p2|>log32时,不妨设p1<p2,则p2-p1>log32,
于是,当x≤p1时,有f1(x)=3p1-x<3p2-x<f2(x),从而f(x)=f1(x);
当x≥p2时,f1(x)=3x-p1=3p2-p1·3x-p2>3log32·3x-p2=f2(x),从而f(x)=f2(x);
当p1<x<p2时,f1(x)=3x-p1及f2(x)=2·3p2-x,
由方程3x0-p1=2·3p2-x0,
解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为,①
显然,
这表明x0在p1与p2之间,
由①易知;
综上可知,在区间[a,b]上, 如下图所示,
故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(x0-p1)+(b-p2),由于f(a)=f(b),即3p1-a=2·3b-p2,得 p1+p2=a+b+log32,②
故由①、②得;
综合(ⅰ)、(ⅱ)可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为。
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