若函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且f（1）=4，f′（1）=1，∫01f（x）dx=196，求函数f（x）的解析式．

题型：解答题难度：一般来源：不详

若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且f（1）=4，f′（1）=1，∫₀¹f（x）dx=

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6

，求函数f（x）的解析式．

答案

由f（1）=4得，a+b+c=4  ①
又∵f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=2a+b=1，②
∵∫₀¹f（x）dx=∫₀¹（ax²+bx+c）dx=

1

3

a+

1

2

b+c
∴

1

3

a+

1

2

b+c=

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6

  ③
联立①②③式解得，a=-1，b=3，c=2
∴f（x）=-x²+3x+2．