二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．（I）求f（x）的解析式
题型：解答题难度：一般来源：丰台区二模
二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，试求t、m的值． |
答案
（I）∵f（x-4）=f（2-x），∴b=2a
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴方程组有且只有一解；
即ax2+（b-1）x=0有两个相同的实根，
∴△=（b-1）2=0
∴b=1，a=．
∴函数f（x）的解析式为f(x)=x2+x．（6分）
（其它做法相应给分）
（II）∵当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，
∴不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]（m＞4）．
即(x-t)2+(x-t)≤x的解集为[4，m]．
∴方程(x-t)2+(x-t)=x的两根为4和m，
即方程x2-2tx+t2-2t=0的两根为4和m．
∴(m＞4)，
解得t=8，m=12∴t和m的值分别为8和12．（13分） |
举一反三
| 已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf′（2），则f（x）=______． |
设函数y=f（x）对任意的实数x，都有f(x)=f(x-1)，且当x∈[0，1]时，f（x）=27x2（1-x）．
（1）若x∈[1，2]时，求y=f（x）的解析式；
（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
（3）已知 n∈N*，且 xn∈x[n，n+1]，记 Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn），求证：0≤Sn＜4． |
定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称；函数f（x）的图象过点P（3，-6）；函数f（x）在点x1，x2处取得极值，且|x1-x2|=4．
（1）求f（x）表达式；
（2）求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（3）求证：∀α、β∈R，-≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤． |
已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）． |
已知x=0是函数f（x）=（x2+ax+b）ex（x∈R）的一个极值点，且函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求单调区间．
（Ⅱ）设g（x）=，其中x∈[-2，m]，问：对于任意的m＞-2，方程g（x）=（m-1）2在区间（-2，m）上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数．若不存在，请说明理由． |
最新试题
热门考点