(1)由题设条件,设A(-x0,0),B(3x0,0)(x0>0), 则x0=, ∴由A(-x0,0),知(-)2-(m+1)×(-)-m-2=0, 即3m2+2m-5=0, 解得m=1,或m=-(舍). ∴这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3. (2)在抛物线的对称轴上存在这样的点F,使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似.∵这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3, ∴A(-1,0),B(3,0),D(1,-4), 对称轴为直线x=1. ∵过点A的直线y=x+与抛物线交于点E, ∴, 解得或, ∴点E的坐标为(,). 过点E作EH⊥x轴于H 在Rt△AEH中,可求AE=. 若对称轴与直线y=x+交于点P, ∴P点坐标为(1,1) ∵对称轴与x轴垂直,交点为点M, ∴在Rt△BMD中,可求BD=2, 在Rt△APM中,tan∠PAM==, 在Rt△BMD中,tan∠MDB==, ∴∠PAM=∠MDB. 由题意,要使得在抛物线的对称轴上存在点F,使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似,只需要=或=.
∴=, 解得DF1=, ∴点F1 的坐标为(1,). 或=, 解得 DF2=, ∴点F2 的坐标为(1,-). 综上,符合题意的F点坐标为F(1,-)或F(1,). (3)∵点G(x,1)在抛物线上 ∴点G的坐标为(1±,1), 又∵A、B、G在同一圆上 ∴圆心一定在抛物线的对称轴上 ∵PA=PA=PG=, ∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心 ∴点P的坐标为(1,1). |