已知函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2x，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（a2-1）+f（1-a）＞0
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2x，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（a2-1）+f（1-a）＞0，求实数a的取值范围． |
答案
（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0
设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
∵当x∈（0，1）时，f（x）=2x，
∴f（x）=-f（x）=-2-x，
∴f（x）=；
（2）∵x∈（0，1）时，f（x）=2x，∴函数在（0，1）上单调递增，
∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴函数在（-1，1）上单调递增，
不等式f（a2-1）+f（1-a）＞0，等价于不等式f（a2-1）＞f（a-1），
∴ | | a2-1＞a-1 | | -1＜a2-1＜1 | | -1＜a-1＜1 |
| |
，解得1＜a＜． |
举一反三
| 已知≤a≤1，若f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的函数表达式． |
| 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时f(x)≤()2，求f（x）的解析式． |
| f（x）为偶函数，x≥0时f（x）=2x-x2（a，b∈R），则x＜0时，f（x）=______． |
| 已知函数f（x）满足f（x+1）=x2+2x+2，则f（x）的解析式为______． |
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