(1)求导函数,可得f′(x)=3ax2+2bx-a2, ∵x1=-1,x2=2是函数f(x)的两个极值点, ∴f"(-1)=0,f"(2)=0, ∴3a-2b-a2=0,12a+4b-a2=0, 解得a=6,b=-9. ∴f(x)=6x3-9x2-36x.-------------------(4分) (2)∵x1,x2是函数f(x)的两个极值点,∴f"(x1)=f"(x2)=0. ∴x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,故有△=4b2+12a3>0对一切a>0,b∈R恒成立. ∴x1+x2=-,x1•x2=-, ∵a>0,∴x1•x2<0, ∴|x1|+|x2|=|x1-x2|==-------------------(6分) 由|x1|+|x2|=2得=2, ∴b2=3a2(6-a). ∵b2≥0,∴3a2(6-a)≥0,∴0<a≤6. 令h(a)=3a2(6-a),则h′(a)=36a-9a2. 当0<a<4时,h′(a)>0,∴h(a)在(0,4)内是增函数; 当4<a<6时,h′(a)<0,∴h(a)在(0,4)内是减函数; ∴当a=4时,h(a)是极大值为96, ∴h(a)在(0,6)上的最大值是96,∴b的最大值是4.…(8分) (3)∵x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根.∴f"(x)=3a(x-x1)(x-x2) ∵x1•x2=-,x2=a,∴x1=- ∴|g(x)|=|3a(x+)(x-a)-a(x+)|=|a(x+)[3(x-a)-1]|…(10分) ∵x1<x<x2, ∴g(x)=a(x+)(-3x+3a+1)═-3a(x+)(x-) =-3a(x-)2++a2+a≤+a2+a= |