已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).(Ⅰ)若方程f(x)=-7a有两个相等的实数根,求f(x)的解析式;(Ⅱ)若函

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).(Ⅰ)若方程f(x)=-7a有两个相等的实数根,求f(x)的解析式;(Ⅱ)若函

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).
(Ⅰ)若方程f(x)=-7a有两个相等的实数根,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,
a
3
)
内单调递减,求a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)-2x>0的解集为(-1,3),
∴可设f(x)-2x=a(x+1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x+1)(x-3)+2x=ax2+2(1-a)x-3a①
由f(x)+7a=0得ax2+2(1-a)x+4a=0②
∵方程②有两个相等的根,
∴△=4(1-a)2-16a2=0,
即3a2+2a-1=0解得a=-1或a=
1
3

由于a<0,a=
1
3
(舍去),将a=-1代入①得f(x)的解析式f(x)=-x2+4x+3.
(2)g(x)=xf(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax,
∵g(x)在区间(-∞,
a
3
)
内单调递减,
∴g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a在(-∞,
a
3
)
上的函数值非正,
由于a<0,对称轴x=
2(a-1)
3a
>0

故g(x)≤g/(
a
3
)=
a3
3
+
4
3
a(1-a)-3a≤0

注意到a<0,∴a2+4(1-a)-9≥0,
得a≤-1或a≥5(舍去)
故所求a的取值范围是(-∞,-1].
举一反三
已知函数f(x)=
x2
ax+b
(a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0
有两个实根x1=3,x2=4,求f(x)的解析式.
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0,x∈R)为奇函数,且f(x)在x=1处取得极大值2.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)记g(x)=
f(x)
x
+(k+1)lnx
,求函数y=g(x)的单调区间.
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已知f(


x
-1
)=x+2


x
,则f(x)______.
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设A(1,0),点C是曲线y=


1-x2
(0≤x≤1)上异于A的点,CD⊥y轴于D,,∠CAO=θ(其中O为原点),将|AC|+|CD|表示成关于θ的函数f(θ),则f(θ)=______.
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已知f(x-1)=x2,则f(x)=______.
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