已知函数f(x)=ax3+bx2-x(x∈R,a,b是常数),且当x=1和x=2时,函数f(x)取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若曲线y=f(x)

已知函数f(x)=ax3+bx2-x(x∈R,a,b是常数),且当x=1和x=2时,函数f(x)取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若曲线y=f(x)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax3+bx2-x(x∈R,a,b是常数),且当x=1和x=2时,函数f(x)取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若曲线y=f(x)与g(x)=-3x-m(-2≤x≤0)有两个不同的交点,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)f"(x)=3ax2+2bx-1,…(2分)
依题意f"(1)=f"(2)=0,即





3a+2b-1=0
12a+4b-1=0
解得a=-
1
6
,b=
3
4
…(4分)
f(x)=-
1
6
x3+
3
4
x2-x
…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线y=f(x)与g(x)=-3x-m(-2≤x≤0)有两个不同的交点,
1
6
x3-
3
4
x2-2x-m=0
在[-2,0]上有两个不同的实数解   …(6分)
设φ(x)=
1
6
x3-
3
4
x2-2x-m
,则φ′(x)=
1
2
x2-
3
2
x-2
,…(8分)
由φ"(x)=0的x=4或x=-1
当x∈(-2,-1)时φ"(x)>0,于是φ(x)在[-2,-1]上递增;
当x∈(-1,0)时φ"(x)<0,于是φ(x)在[-1,0]上递减.…(10分)
依题意有





φ(-2)≤0
φ(-1)>0
φ(0)≤0





m≥-
1
3
m<
13
12
m≥0
0≤m≤
13
12

∴实数m的取值范围是0≤m<
13
12
.…(13分)
举一反三
设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.
(1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=2


2
,求b的最大值.
(3)若x1<x<x2,且x2=a,g(x)=f"(x)-a(x-x1),求证:|g(x)|≤
a(3a+2)2
12
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已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2x的解集为(-1,3).
(Ⅰ)若方程f(x)=-7a有两个相等的实数根,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,
a
3
)
内单调递减,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x2
ax+b
(a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0
有两个实根x1=3,x2=4,求f(x)的解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0,x∈R)为奇函数,且f(x)在x=1处取得极大值2.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)记g(x)=
f(x)
x
+(k+1)lnx
,求函数y=g(x)的单调区间.
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已知f(


x
-1
)=x+2


x
,则f(x)______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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