已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d的图象过点(0,3),且在(-∞,-1)和(3,+∞)上为增函数,在(-1,3)上为减函数.(1)求f(x)的解析式
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已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d的图象过点(0,3),且在(-∞,-1)和(3,+∞)上为增函数,在(-1,3)上为减函数.(1)求f(x)的解析式
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
1
3
x
3
+b
x
2
+cx+d的图象过点(0,3),且在(-∞,-1)和(3,+∞)上为增函数,在(-1,3)上为减函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在R上的极值.
答案
(1)∵f(x)的图象过点(0,3),
∴f(0)=d=3
∴
f(x)=
1
3
x
3
+b
x
2
+cx+3
,
∴f"(x)=x
2
+2bx+c
又由已知得x=-1,x=3是f"(x)=0的两个根,
∴
-1+3=-2b
-1×3=c
∴
b=-1
c=-3
故
f(x)=
1
3
x
3
-
x
2
-3x+3
…(8分)
(2)由已知可得x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点
∴f(x)
极大值
=
f(-1)=
14
3
f(x)
极小值
=f(3)=-6…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=ax
3
+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)过点(2,2)能作几条直线与曲线y=f(x)相切?说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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半径为R与r的⊙A与⊙B都经过同一个点D(4,5)且与两坐标轴都相切,则R与r的关系是______.
题型:填空题
难度:一般
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已知函数f(x)=
log
1
2
(x+1),当点P(x
0
,y
0
)在函数y=f(x)的图象上移动时,点
Q(
x
0
-t+1
2
,
y
0
) (t∈R)
在函数y=g(x)的图象上移动.
(1)若x
0
=1,且点Q也在函数y=f(x)的图象上,求y
0
,t的值;
(2)当t=0时,求函数y=g(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
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已知定义在R上的奇函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx+d在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x
1
,x
2
,都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤4成立;
(Ⅲ)若过点P(m,n),(m、n∈R,且|m|<2)可作曲线y=f(x)的三条切线,试求点P对应平面区域的面积.
题型:解答题
难度:一般
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3
R
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题型:解答题
难度:一般
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