已知函数f（x）=x3+ax2+ax+b的图象过点P（0，2），且在x=-1处的切线斜率为6．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x³+ax²+ax+b的图象过点P（0，2），且在x=-1处的切线斜率为6．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

答案

（Ⅰ）f"（x）=3x²+2ax+a．
由题意知

f(0)=b=2 f′(-1)=3-2a+a=6

，解得

a=-3 b=2

．
∴f（x）=x³-3x²-3x+2．
（Ⅱ）f"（x）=3x²-6x-3．
令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0．
解得x1=1-

2

，x2=1+

2

．
当x＜1-

2

，或x＞1+

2

时，f′(x)＞0；
当1-

2

＜x＜1+

2

时，f′(x)＜0．
∴f（x）的单调递增区间为：(-∞，1-

2

)和(1+

2

，+∞)，
f（x）的单调递减区间为：(1-

2

 ，1+

2

)．