试题分析:(1)首先求导函数,然后通过判断的符号可求得单调区间;(2)构造函数,然后利用导数研究函数的取值变化,确定图象的位置,由图象可直观得到函的取值范围;(3) 试题解析:(1)根据定义域后,求导得到, 根据导数和0的关系得到在是函数的增区间;在是函数减区间. (2)(2)令,求导得, 里面有一个零点和两个断点,所以初步可以得到函数在区间单调增;在区间单调减. 当从负半轴方向趋近于-1时, 当从正半轴方向趋近于-1时, 而且时,, 而且可以很容易得到,函数为偶函数,而且, 另半边的图像就容易模拟得到了,所以有4个不同的实根,结合图像得到. (本题必须另半边如果不分析必须用奇偶性说明;而且必须说明在断点处的趋势,否则扣2到3分) (3)结论:这样的正数不存在. 假设存在满足条件的,使得方程存在两个不相等的实根和,然后代入方程,根据其结构利用第(1)问的结论判断出在上的取值及单调性,然后结合假设导出矛盾,作出判断. 假设存在正数,使得方程存在两个不相等的实根和,则
根据定义域知道和都是正数. 根据第1问知道,当时,函数的最小值, 所以, 因为,等式两边同号,所以,所以 不妨设 由(1)(2)可得, 所以, 所以. 因为很容易证明到函数在为恒大于0且为减函数 所以(*)方程显然不成立,因为左边大于1,右边小于1. 所以原假设:存在正数,使得方程存在两个不相等的实根和错误(本题其他证法,请酌情给分) |