已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.(1)求证:f(x)在R上是减函

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)在R上是减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

答案

(1)见解析  (2) 最大值为2,最小值为-2

解析

(1)方法一:∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),
∴令x=y=0,得f(0)=0.
再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x₁>x₂,则x₁-x₂>0,
f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=f(x₁-x₂).
又∵x>0时,f(x)<0,而x₁-x₂>0,
∴f(x₁-x₂)<0,
即f(x₁)<f(x₂).
因此f(x)在R上是减函数.
方法二:设x₁>x₂,
则f(x₁)-f(x₂)
=f(x₁-x₂+x₂)-f(x₂)
=f(x₁-x₂)+f(x₂)-f(x₂)
=f(x₁-x₂).
又∵x>0时,f(x)<0,而x₁-x₂>0,
∴f(x₁-x₂)<0,
即f(x₁)<f(x₂),
∴f(x)在R上为减函数.
(2)∵f(x)在R上是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).
而f(3)="3f(1)=-2,f" (-3)=-f(3)=2.
∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.