试题分析:(1)由知,的定义域为,, 又在处的切线方程为,所以有 ,① 由是函数的零点,得,② 由是函数的极值点,得,③ 由①②③,得,,. (2)由(1)知, 因此,,所以 . 要使函数在内不是单调函数,则函数在内一定有极值,而 ,所以函数最多有两个极值. 令. (ⅰ)当函数在内有一个极值时,在内有且仅有一个根,即 在内有且仅有一个根,又因为,当 ,即时,在内有且仅有一个根 ,当时,应有,即,解得,所 以有. (ⅱ)当函数在内有两个极值时,在内有两个根,即二次函 数在内有两个不等根,所以
解得. 综上,实数的取值范围是. (3)由,得, 令,得,即的单调递减区间为. 由函数在上单调递减可知, 当时, ,即, 亦即对一切都成立, 亦即对一切都成立, 所以, , , … , 所以有, 所以. 点评:本题第一问题型基础简单,第二问需要分情况讨论,对学生有一定的难度,第三问需要借助于单调性求出最值进而转化为恒成立的不等式,难度大 |