函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5

题型：解答题难度：简单来源：不详

函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)＜3.

答案

（1）证明见解析（2）解集为（-1, ）

解析

（1）设x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂,
则x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＞1.                                            2分
f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)
=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1＞0.                                     5分
∴f（x₂）＞f(x₁).
即f(x)是R上的增函数.                                          7分
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，                                              10分
∴原不等式可化为f(3m²-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函数，∴3m²-m-2＜2,                                 12分
解得-1＜m＜,故解集为（-1, ）.                    14分