设f:N*→N*,f(x)是定义在正整数集上的增函数,且f(f(k))=3k,则f(2012)=______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
设f:N*→N*,f(x)是定义在正整数集上的增函数,且f(f(k))=3k,则f(2012)=______. |
答案
∵f(f(k))=3k,∴取k=1,得f(f(1))=3, 假设f(1)=1时,有f(f(1))=f(1)=1矛盾 假设f(1)≥3,因为函数是正整数集上的增函数,得f(f(1))≥f(3)>f(1)≥3矛盾 由以上的分析可得:f(1)=2,代入f(f(1))=3,得f(2)=3, 可得f(3)=f(f(2))=3×2=6,f(6)=f(f(3))=3×3=9,f(9)=f(f(6))=3×6=18 由f(f(k))=3k,取k=4和5,得f(f(4))=12,f(f(5))=15, ∵在f(6)和f(9)之间只有f(7)和f(8),且f(4)<f(5), ∴f(4)=7,f(7)=12,f(8)=15,f(5)=8, 由f(x)是增函数可得f(x)的反函数f-1(x)也是增函数 下证f(3k)=3f(k),且f-1(3k)=3f-1(k), ①若f(3k)<3f(k),则f-1(3k)<3f-1(k), ∵满足f(n)=k的n必定满足n<k,即f-1(k)<k,得f-1(3k)<3k ∴3f-1(3k)<9k=f(f(3k))<f(3f(k)),得3f(k)>3f-1(3k),矛盾 ②若f(3k)>3f(k),则类似①的证法可得3f(k)<3f-1(3k),矛盾 综上所述,得f(3k)=3f(k)且f-1(3k)=3f-1(k) ∴f(2187)=f(3×729)=3f(729)=32f(243)=33f(81)=34f(27)=35f(9)=36f(3)=37f(1)=4374, 同理f(1944)=35×f(8)=243×15=3645 又∵f(f(k))=3k,∴f(k)的值域包括所有3的倍数. ∵1944到2187间有242个数,3645到4374之间有242个三的倍数, ∴1944到2187之间全部值都是3的倍数 由此可得:f(2012)=3645+(2012-1944)×3=3849 |
举一反三
“若函数f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上都单调递增,则函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增”的一个反例是( )A.f(x)=x2 | B.f(x)=-x2 | C.f(x)= | D.f(x)= |
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已知函数f(x)=,若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为______. |
如图,函数y=f(x)在点P处的切线是l,且P点的横坐标为2,则f(2)+f′(2)=______.
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已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集,对任意x≥0,规定f(x)*g(x)=minf(x),g(x),若f(x)=3-x,g(x)=,则f(x)*g(x)的最大值为______. |
求函数y=loga(x-x2)(a>0,a≠1)的定义域、值域、单调区间. |
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