函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数.(2)若f(4)=5,解不等
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)在R上是增函数. (2)若f(4)=5,解不等式.f(3m2-4)<3. (3)若f(m2+m-5)<2的解集是m∈(-3,2),求f(6)的值. |
答案
(1)证明:∀实数x1<x2,则x2-x1>0,∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. 又∵函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1, ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1). ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在R上是增函数. (2)令a=b=2,则f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,解得f(2)=3. 不等式f(3m2-4)<3.化为f(3m2-4)<f(2). 由(1)可得:f(x)在R上是增函数. ∴3m2-4<2,化为m2<2,解得-<m<. ∴不等式f(3m2-4)<3的解集为(-,). (3)由m∈(-3,2),可得(-3,2)是不等式(m+3)(m-2)<0的解集, 化为m2+m-5<1, ∵f(m2+m-5)<2的解集是m∈(-3,2),及由(1)可得:f(x)在R上是增函数. ∴f(1)=2. ∴f(2)=f(1+1)=2f(1)-1=3, ∴f(4)=2f(2)-1=2×3-1=5, ∴f(6)=f(2)+f(4)-1=3+5-1=7. 故f(6)=7. |
举一反三
对a,b∈R,记max{a,b}=,函数f(x)=max{|x+1|,|x-1|}(x∈R)的最小值是______. |
直线y=ax+b的图象如图所示,则函数h(x)=(ab)x在R上( )A.为增函数 | B.为减函数 | C.为常数函数 | D.单调性不确定 |
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已知定义在R上的函数f(x)=,若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围为______. |
设函数f(x)=()x-()x+1,不等式f(x)≤2a-1对x∈[-3,2]恒成立,则实数a的取值范围为______. |
某上市股票在30天内每股的交易价格p元与时间t(天)(0<t≤30且t∈N)组成有序数对(t,p),点(t,p)落在下面中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示.
第七天 | 4 | 10 | 16 | 22 | Q(万股) | 36 | 30 | 24 | 18 |
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