设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=13(an-1+2an-2)(n=3,4,…).数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意

设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=13(an-1+2an-2)(n=3,4,…).数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意

题型:广东难度:来源:
设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=
1
3
(an-1+2an-2)(n=3,4,…).数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)记cn=nanbn(n=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn
答案
(1)由an=
1
3
(an-1-an-2)
an-an-1=-
2
3
(an-1-an-2)
(n≥3)
又a2-a1=1≠0,
∴数列{an+1-an}是首项为1公比为-
2
3
的等比数列,an+1-an=(-
2
3
)n-1

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)++(an-an-1
=1+1+(-
2
3
)+(-
2
3
)2++(-
2
3
)n-2

=1+
1-(-
2
3
)
n-1
1+
2
3
=
8
5
-
3
5
(-
2
3
)n-1

当n为奇数时当n为偶数时





-1≤b1+b2≤1
-1≤b2≤1
b2∈Z,b2≠0

得b2=-1,





-1≤b2+b3≤1
-1≤b3≤1
b3∈Z,b3≠0

得b3=1,
同理可得当n为偶数时,bn=-1;当n为奇数时,bn=1;
因此bn=





1,n为奇数
-1,n为偶数

(2)cn=nanbn=





8
5
n-
3
5
n(
2
3
)
n-1
-
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)
n-1

Sn=c1+c2+c3+c4++cn
当n为奇数时,Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
++
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)
0
+2×(
2
3
)
1
+3×(
2
3
)
2
+4×(
2
3
)
3
++n(
2
3
)
n-1
]
=
4(n+1)
5
-
3
5
[1×(
2
3
)
0
+2×(
2
3
)
1
+3×(
2
3
)
2
+4×(
2
3
)
3
++n(
2
3
)
n-1
]

当n为偶数时
Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
+-
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)
0
+2×(
2
3
)
1
+3×(
2
3
)
2
+4×(
2
3
)
3
++n(
2
3
)
n-1
]
=-
4n
5
-
3
5
[1×(
2
3
)
0
+2×(
2
3
)
1
+3×(
2
3
)
2
+4×(
2
3
)
3
++n(
2
3
)
n-1
]

Tn=1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1

①×
2
3
得:
2
3
Tn=1×(
2
3
)1+2×(
2
3
)2+3×(
2
3
)3+4×(
2
3
)4++n(
2
3
)n

①-②得:
1
3
Tn=1+(
2
3
)1+(
2
3
)2+(
2
3
)3+(
2
3
)4++(
2
3
)n-1-n(
2
3
)n
=
1-(
2
3
)
n
1-
2
3
-n(
2
3
)n=3-(3+n)(
2
3
)n

Tn=9-(9+3n)(
2
3
)n

当n为奇数时当n为偶数时
因此Sn=





4n-23
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)
n
-
4n+27
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)
n
举一反三
已知数列{an},其前n项和Sn满足Sn+1=2Sn+1,且a1=1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn
题型:开封一模难度:| 查看答案
已知数列{an}的首项a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}中,a3=1,a1+a2+…+an=an+1(n∈N*).
(Ⅰ)求a1,a2,a4,a5
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn
(Ⅲ)设bn=log2Sn,存在数列{cn}使得cn•bn+3•bn+4=n(n+1)(n+2)Sn,试求数列{cn}的前n项和Tn
题型:不详难度:| 查看答案
f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)
,是否存在g(n),使得等式f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+n=ng(n)f(n)总成立?若存在,请写出g(n)通项公式(不必说明理由);若不存在,说明理由.______.
题型:奉贤区二模难度:| 查看答案
已知数列{an}的首项a1=
1
2
,前n项和Sn=n2an
(Ⅰ)求证:an+1=
n
n+2
an

(Ⅱ)记bn=lnSn,Tn为{bn}的前n项和,求e-Tn-n的值.
题型:不详难度:| 查看答案
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