设x∈N+时f(x)∈N+,对任何n∈N+有f(n+1)>f(n)且f(f(n))=3n,(1)求f(1);(2)求f(6)+f(7);(3)求f(2012).
题型:解答题难度:一般来源:不详
设x∈N+时f(x)∈N+,对任何n∈N+有f(n+1)>f(n)且f(f(n))=3n, (1)求f(1); (2)求f(6)+f(7); (3)求f(2012). |
答案
(1)∵f(f(n))=3n, ∴f(f(1))=3, 若f(1)=1,则f(f(1))=f(1)=3,与f(1)=1矛盾 故f(1)≠1 ∵f(x)∈N* ∴f(1)≥2 ∵f(x)在大于0上是单调增函数 ∴f(2)≤f(f(1))=3 又由f(2)>f(1)≥2, 可得2≤f(1)<f(2)≤3 故f(1)=2,f(2)=3 (2)因为 f(3)=f(f(2))=6, f(6)=f(f(3))=9, 且f(3)<f(4)<f(5)<f(6) 所以f(4)=7,f(5)=8, 所以f(4)+f(5)=7+8=15 (3)f(9)=f(f(6))=18 f(18)=f(f(9))=27---且f(k)=k+9…9≤k≤18 f(27)=f(f(18))=54 f(54)=f(f(27))=81---且f(k)=k+27…27≤k≤54 f(81)=f(f(54))=162 f(162)=f(f(81))=243---且f(k)=k+81…81≤k≤162 f(243)=f(f(162))=486 f(486)=f(f(243))=729---且f(k)=k+243…243≤k≤486 f(729)=f(f(486))=1458 f(1458)=f(f(729))=2187---且f(k)=k+729…729≤k≤1458 所以 f=2012 所以f(2012)=f(f)=3=3849 |
举一反三
函数f(x)=,则f[f(-2)]=______. |
设函数f(x)=x3ln+1,若f(a)=11,则f(-a)=______. |
判断f(x)=(x∈[0,3])的单调性,并证明你的结论. |
已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),且对于任意x1,x2∈D,均有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0; (1)求f(1)与f(-1)的值; (2)判断函数的奇偶性并证明; (3)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (4)若f(4)=1,解不等式f(3x+1)≤2. |
已知奇函数f(x)在定义域[-3,3]上是减函数,且满足f(a2-2a)+f(2-a)<0,求实数a的取值范围. |
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