已知函数f(x)=2-xx-1+aln(x-1)(a∈R).(1)若函数f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,试求实数a的取值范围;(2)当a=2时,求证

已知函数f(x)=2-xx-1+aln(x-1)(a∈R).(1)若函数f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,试求实数a的取值范围;(2)当a=2时,求证

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
2-x
x-1
+aln(x-1)
(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,试求实数a的取值范围;
(2)当a=2时,求证:1-
1
x-1
<2ln(x-1)<2x-4
(x>2);
(3)求证:
1
4
+
1
6
+…+
1
2n
<lnn<1+
1
2
+…+
1
n-1
(n∈N*且n≥2).
答案
(1)因为f (x)=
a(x-1)-1
(x-1)2
,若函数f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,则f′(x)≥0恒成立,即a≥
1
x-1
恒成立,所以a≥(
1
x-1
)max

又x∈[2,+∞),则0<
1
x-1
≤1
,所以a≥1.
(2)当a=2时,由(Ⅰ)知函数f(x)=
2-x
x-1
+2ln(x-1)
在[2,+∞)上是增函数,
所以当x>2时,f(x)>f(2),即
2-x
x-1
+2ln(x-1)>0
,则2ln(x-1)>
x-2
x-1
=1-
1
x-1

令g(x)=2x-4-2ln(x-1),则有g(x)=2-
2
x-1
=
2(x-2)
x-1

当x∈(2,+∞)时,有g′(x)>0,
因此g(x)=2x-4-2ln(x-1)在(2,+∞)上是增函数,所以有g(x)>g(2)=0,
即可得到2x-4>2ln(x-1).
综上有1-
1
x-1
<2ln(x-1)<2x-4
(x>2).
(3)在(2)的结论中令x-1=
t+1
t
,则
1
t+1
<2ln
t+1
t
<2•
1
t

取t=1,2,…,n-1,(n∈N*,n≥2)时,得到(n-1)个不等式,将所得各不等式相加得,
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2(ln
2
1
+ln
3
2
+…+ln
n
n-1
)<2(1+
1
2
+…+
1
n-1
)

所以
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2lnn<2(1+
1
2
+…+
1
n-1
)

1
4
+
1
6
+…+
1
2n
<lnn<1+
1
2
+…+
1
n-1
(n∈N*且n≥2)
举一反三
设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数,且f(-1)=2,则f(2011)+f(2012)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=loga(1-
a
x
)
,其中0<a<1,
(1)证明:f(x)是(a,+∞)上的减函数;
(2)解不等式f(x)>1.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
0<m<
1
2
,若
1
m
+
2
1-2m
≥k
恒成立,则k的最大值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x2+3
x-a
(x≠a,a为非零常数).
(1)解不等式f(x)<x;
(2)设x>a时,f(x)的最小值为6,求a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知实数a≠b,试解关于x的不等式:(
1
2
)b2(x-1)-a2x2[ax+b(1-x)]2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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