设f(x)在定义域A上是单调递减函数,又F(x)=af(x)(a>0),当f(x)>0时,F(x)>1.求证:(1)f(x)<0时,F(x)<1; (2)F(
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)在定义域A上是单调递减函数,又F(x)=af(x)(a>0),当f(x)>0时,F(x)>1. 求证:(1)f(x)<0时,F(x)<1; (2)F(x)在定义域A上是减函数. |
答案
证明:(1)∵f(x)>0时,F(x)=af(x)>1, ∴a>1 则f(x)<0时,-f(x)>0…(2分) ∴a-f(x)>1 ∴>1 ∴0<af(x)<1 ∴F(x)<1…(4分) (2)设x1<x2,x1.x2∈A…(5分) ∵f(x)在A上为减函数, ∴f(x1)>f(x2) 即f(x2)-f(x1)<0, 而F(x2)-F(x1)=af(x2)-af(x1)=af(x1)[af(x2)-f(x1)-1]…(8分) ∵a>0, ∴af(x1)>0,且当f(x2)-f(x1)<0 而f(x)<0时,F(x)<1 ∴af(x2)-f(x1)<1 ∴F(x2)-F(x1)<0∴F(x2)<F(x1) ∴F(x)在定义域A上是减函数…(13分) |
举一反三
设函数f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sinx,当x∈[2,+∞)时f(x)=log2x,则f(-)+f(4)=( ) |
选修4-5:不等式选讲定义min{a,b}=,求函数f(x)=min{|x-2|+|2x+1|,-x2+3x+3}的最大值. |
若函数y=f(x)在R上有定义,对于给定的正数M,定义函数fM(x)=,若给定函数f(x)=ex-1,当M=1时,fM(x)的单调递增区间是( )A.[1,+∞) | B.[,+∞) | C.[ln2,+∞) | D.[e,+∞) |
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足,f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值是-. (1)求f(x)的解析式; (2)设g(x)=ln x-f(x)f′(x),求g(x)的最大值及相应的x值; (3)对任意正数x,恒有f(x)+f()≥(x+)1n m,求实数m的取值范围. |
设函数f(x)=|1-|(x>0),证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1. |
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