设函数f(x)=ex,g(x)=x2+4x+5,g(x)的导函数为g"(x)(e为自然对数底数).(Ⅰ)若函数y=f(2x)e-ag"(x)+4a有最小值0,求

设函数f(x)=ex,g(x)=x2+4x+5,g(x)的导函数为g"(x)(e为自然对数底数).(Ⅰ)若函数y=f(2x)e-ag"(x)+4a有最小值0,求

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ex,g(x)=x2+4x+5,g(x)的导函数为g"(x)(e为自然对数底数).
(Ⅰ)若函数y=
f(2x)
e
-ag"(x)+4a有最小值0,求实数a的值;
(Ⅱ)记h(x)=f(x+2n)-ng(x)(n为常数),若存在唯一实数x0,同时满足:(i)x0是函数h(x)的零点;(ii)h′(x0)=0.试确定x0、n的值,并证明函数h(x)在R上为增函数.
答案
解(Ⅰ)∵y=
f(2x)
e
-ag′(x)+4a=e2x-1-2ax,∴y′=2e2x-1-2a

当a≤0时,y">0,函数在R上为增函数,故没有最小值,∴a>0(2分)
此时由2e2x-1-2a=0得:x=
1
2
(lna+1),且x>
1
2
(lna+1)时,y">0
x<x>
1
2
(lna+1)时,y"<0,
∴x∈(-∞,
1
2
(lna+1))时,函数为减函数,
x∈(
1
2
(lna+1),+∞)时,函数为增函数,
ymin=a-2a•
1
2
(lna+1)=-alna,∵ymin=0,∴a=1(6分)

(Ⅱ)∵h(x)=ex+2n-n(x2+4x+5),∴h"(x)=ex+2n-2nx-4n,
{h(x0)=0h′(x0)=0
{ex0+2n=2nx0+4n(1)ex0+2n=nx02+4nx0+5n(2)

∴nx02+4nx0+5n=2nx0+4n由(1)知n≠0,∴2x0+4=x02+4x0+5,∴(x0+1)2=0∴x0=-1(9分)
代入(1)有e2n-1-2n=0,由第(I)小题知,A、=1时,函数y=e2x-1-2ax=e2x-1-2x有最小值0,且当x=
1
2
(lna+1)=
1
2
取到最小值0
方程e2n-1-2n=0有唯一解n=
1
2
,∴x0=-1,n=
1
2
(11分)
h(x)=ex+1-
1
2
(x2+4x+5),∴设R(x)=h′(x)=ex+1-x-2
,R"(x)=ex+1-1,(12分)
∴x≥-1时,R"(x)≥0,x<-1时,R"(x)<0x=-1时,R(x)min=0,∴x∈R,R(x)≥0,仅当x=-1时R(x)=0∴h"(x)≥0在R上恒成立,且仅当x=-1时h"(x)=0,∴h(x)在R上为增函数(14分)
举一反三
已知f(x)=sinx-3cosx,则f(x)的最大值为 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架,如果制作容器的一边比另一边长0.5 m,那么高为______时,容器容积最大.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数①f(x)=2lnx;②f(x)=3ecosx;③f(x)=3ex;其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量都存在唯一个个自变量x2,使


f(x1)f(x2)
=3
成立的函数是______.(填上所有正确结论的序号)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=log
1
2
(x2-6x+5)
的单调递减区间是(  )
A.(5,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,3)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数y=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值是f(a).
(1)求f(a)的解析式;
(2)讨论函数φ(a)=log0.5f(a)在 a∈[-2,2]时的单调性(不需证明).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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