(1)f′(x)=-= ∵a=,令f"(x)>0得x>2或0<x< ∴函数f(x)的单调增区间为(0,),(2,+∞);
(2)证明:当a=0时f(x)=lnx ∴f′(x)= ∴f′(x0)== 又k=== 不妨设x2>x1,要比较k与f"(x0)的大小, 即比较与的大小, 又∵x2>x1, ∴即比较ln与=的大小. 令h(x)=lnx-(x≥1), 则h′(x)=-=≥0 ∴h(x)在[1,+∞)上位增函数. 又>1, ∴h()>h(1)=0, ∴ln>, 即k>f"(x0);
(3)∵<-1, ∴<0 由题意得F(x)=g(x)+x在区间(0,2]上是减函数. 1°当1≤x≤2,F(x)=lnx++x, ∴F′(x)=-+1 由F′(x)≤0⇒a≥+(x+1)2=x2+3x++3在x∈[1,2]恒成立. 设m(x)=x2+3x++3,x∈[1,2],则m′(x)=2x-+3>0 ∴m(x)在[1,2]上为增函数, ∴a≥m(2)= 2°当0<x<1,F(x)=-lnx++x, ∴F′(x)=--+1 由F′(x)≤0⇒a≥-+(x+1)2=x2+x--1在x∈(0,1)恒成立 设t(x)=x2+x--1,x∈(0,1)为增函数 ∴a≥t(1)=0 综上:a的取值范围为a≥. |