已知函数f(x)=xx+2,x∈[3,6].(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并利用单调性的定义证明; (Ⅱ)求f(x)在[3,6]上的最值.
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已知函数f(x)=xx+2,x∈[3,6].(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并利用单调性的定义证明; (Ⅱ)求f(x)在[3,6]上的最值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
x
x+2
,x∈[3,6].
(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并利用单调性的定义证明;
(Ⅱ)求f(x)在[3,6]上的最值.
答案
(Ⅰ)函数f(x)区间[3,6]上单调递增.…(2分)
任取x
1
,x
2
∈[3,6],且x
1
<x
2
,
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
1
x
1
+2
-
x
2
x
2
+2
=
2(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+2)(
x
2
+2)
…(5分)
∵3≤x
1
<x
2
≤6∴x
1
-x
2
<0,x
1
+2>0,x
2
+2>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
)
∴由单调性的定义知,函数f(x)区间[3,6]上单调递增.…(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数f(x)区间[3,6]上单调递增,
∴[f(x)]
min
=f(3),[f(x)]
max
=f(6)∵
f(3)=
3
3+2
=
3
5
,
f(6)=
6
6+2
=
3
4
∴
[f(x)
]
min
=
3
5
,
[f(x)
]
max
=
3
4
.…(12分)
举一反三
设函数f(x)的定义域为D,若存在非零数l使得对于任意x∈M(M⊆D)有x+l∈D且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为M上的l高调函数.现给出下列命题:
①函数f(x)=
(
1
2
)
x
为R上的1高调函数;
②函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数
③如果定义域为[1,+∞)的函数f(x)=x
2
为[-1,+∞)上m高调函数,那么实数m的取值范围是[2,+∞)其中正确的命题是______.(写出所有正确命题的序号)
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
4
x
2
-7
2-x
x∈[0,1],则f(x)
的单调递增区间为( )
A.(0,1)
B.(-2,1)
C.(0,
1
2
)
D.(
1
2
,1)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
设函数f(x)=
(x+1
)
2
x<1
4-
x-1
x≥1
(1)求f[f(0)];
(2)若f(x)=1,求x值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(8.5)等于( )
A.-0.5
B.0.5
C.-1.5
D.1.5
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
若-2x
2
+5x-2>0,则
4
x
2
-4x+1
+2|x-2|
等于( )
A.4x-5
B.-3
C.3
D.5-4x
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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