设f(x)的定义域(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(m•n)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(12)=-1.(1)求f(2)的值;(
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设f(x)的定义域(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(m•n)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(12)=-1.(1)求f(2)的值;(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设f(x)的定义域(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(m•n)=f(m)+f(n),且当x>1时,
f(x)>0,f(
1
2
)=-1
.
(1)求f(2)的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解关于x的不等式
f(x)≥2+f(
p
x-4
)
,其中p>-1.
答案
(1)令m=n=1,则f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0(2分)
令
m=2,n=
1
2
,则
f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)
,
∴f(2)=1(4分)
(2)设0<x
1
<x
2
,则
x
2
x
1
>1
∵当x>1时,f(x)>0
∴
f(
x
2
x
1
)>0
(6分)
f(
x
2
)=f(
x
1
×
x
2
x
1
)=f(
x
1
)+f(
x
2
x
1
)>f(
x
1
)
(9分)
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数(10分)
(3)∵f(2)=1得2=f(2)+f(2)=f(4)
又
f(x)≥2+f(
p
x-4
)
可化为:
f(x)≥f(
4p
x-4
)
由y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
原不等式可化为:
x≥
4p
x-4
4p
x-4
>0
当p>0时,解之得:4<x≤2+2
1+p
.
当-1<p<0时,解之得:2-2
1+p
≤x≤2+2
1+p
.
举一反三
已知函数f(x)=x+
1
x
(1)判断函数f(x)的奇偶性.
(2)判断f(x)在区间(0,1)上的单调性,并用定义证明.
(3)当x∈(-∞,0)时,写出函数f(x)=x+
1
x
的单调区间(不必证明).
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)(x∈R,且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1时,f(x)>0恒成立.
(1)求f(1);
(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根;
(3)若x∈[1,+∞)时,不等式f(
x
2
+2x+a
x
)>0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数,且f(a)+f(2a
2
-1)<0,则a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)=x
5
+ax
3
+bx且f(-2)=10,那么f(2)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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在区间[1、2]上,若f(x)=x
2
+2ax是减函数而g(x)=
a
x+1
是增函数,则a的取值范围是( )
A.(-2,1)∪(1,2)
B.(-∞,-2]
C.[-2,0)
D.[2,+∞]
题型:单选题
难度:简单
|
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