设f(log2x)=x+ax（a是常数）．（1）求f （x）的表达式；（2）如果f （x）是偶函数，求a的值；（3）当f （x）是偶函数时，讨论函数f （x）在

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设f(log2x)=x+ax（a是常数）．（1）求f （x）的表达式；（2）如果f （x）是偶函数，求a的值；（3）当f （x）是偶函数时，讨论函数f （x）在

题型：解答题难度：一般来源：不详
设f(log2x)=x+
a
x
（a是常数）．
（1）求f （x）的表达式；
（2）如果f （x）是偶函数，求a的值；
（3）当f （x）是偶函数时，讨论函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
答案
（1）令t=log2x，则x=2t，于是f(t)=2t+
a
2t

∴f(x)=2x+
a
2x
（3分）
（2）∵f（x）是偶函数，∴2-x+
a
2-x
=2x+
a
2x
对任意x∈R恒成立
即(a-1)(2x+
1
2x
)=0对任意x∈R恒成立
∴a-1=0，即a=（16分）
（3）f （x）是偶函数时，讨论函数f （x）在区间（0，+∞）上是增函数，
证明如下
f(x)=2x+
1
2x
，设0＜x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=(2x2+
1
2x2
)-(2x1+
1
2x1
)=(2x2-2x1)(1-
1
2x1+x2
)（8分）
∵x1＜x2，且y=2x是增函数，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x1＜x2，x1+x2＞0，∴2x1+x2＞1  ⇒
1
2x1+x2
＜1（10分）
故1-
1
2x1+x2
＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数．（12分）
举一反三
设函数f（x）=|2x-1|+x+3，则f（-2）=______；若f（x）≤5，则x的取值范围是______．
题型：填空题难度：简单| 查看答案
已知f（x+1）=xα（α为常数），且函数y=f（x）的图象经过点（5，2）．
（1）求f（x）的解析式；（2）用单调性定义证明y=f（x）在定义域内为增函数．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知函数y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性质：在区间（0，


a
]上单调递减，在[


a
，+∞）上单调递增．
（1）如果函数f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，求常数b的值．
（2）设常数a∈[l，4]，求函数y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f[cos(α+
π
30
)]=tcos(2α+
π
15
)+sin(α+
π
5
)+cos(α+
11π
30
)
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零点；
（2）记h（t），g（t）分别是f（x）的最大值、最小值，求函数F（t）=h（t）-g（t）的解析式．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
（普通班做）已知函数f(x)=
x2
1+x2
，x∈R．
（1）求f(x)+f(
1
x
)的值；
（2）计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
n
)的值．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
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