(本题12分) (1)∵f(1)=1, ∴+a=1,即1+a=1,∴a=0 ∴f(x)=, ∴f(-1)+f(3)=+=2. (2)∵f(x)≥0,即+a≥0, 亦即a≥-对任意的x∈[1,+∞)恒成立, 设h(x)=-, ∵h(x)=-=-=-, ∴h(x)在x∈[1,+∞)时是增函数,所以hmin(x)=h(1)=-1 ∴a≥-1即可. 故实数a的取值范围是[-1,+∞). (3)∵a=-1, ∴f(x)=-1==, ∴g(x)=f(x+b)=2x+b-1-21-b-x | 2x+b-1+21-b-x | , 方法一: ∵g(x)是奇函数,且x∈R,∴g(0)=0 ∴g(0)==0,∴2b-1=21-b,即2b-1=1,所以b=1. 当b=1时,g(x)=,∵g(-x)==-=-g(x), ∴g(x)是奇函数. 故存在b=1,使g(x)是奇函数. 方法二: ∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),令b-1=c 即=- ∴22c+2-2x-22x-2-2c=-(22c+22x-2-2x-2-2c) ∴22c-2-2c=0,即24c=1,即c=0,即b=1. 方法三:【这种做法也给分】 当b=1时,g(x)=, ∵g(-x)==-=-g(x),∴g(x)是奇函数. 所以存在b=1,使g(x)是奇函数. |