(1)函数f(x)的定义域为R,又f(x)满足f(-x)=-f(x), 所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0. 在f(log2x)=中令x=1得出f(0)=0,所以a=1 令log2x=t,则x=2t,y=f(t)=f(x)=(t∈R) 所以f(x)= (2)减函数 证明:任取 x1,x2∈R,x1<x2,△x=x2-x1>0, 由(1)f(x2)-f(x1)=-= ∵x1<x2, ∴0<2x1<2x2, ∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0 ∴f( x2)-f( x1)<0 ∴该函数在定义域R上是减函数 (3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k), ∵f(x)是奇函数∴f(t2-2t)<f(k-2t2),由(2),f(x)是减函数 ∴原问题转化为t2-2t>k-2t2, 即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立∴△=4+12k<0,得k<-即为所求. |