已知函数f(x)=xx2+1．（1） 判断并证明函数f（x）的奇偶性（2）判断并证明当x∈（-1，1）时函数f（x）的单调性；（3）在（2）成立的条件下，解不等

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x

x2+1

．
（1） 判断并证明函数f（x）的奇偶性
（2）判断并证明当x∈（-1，1）时函数f（x）的单调性；
（3）在（2）成立的条件下，解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

答案

（1）∵y=x²+1为偶函数，y=x为奇函数
根据函数奇偶性的性质，我们易得
函数f(x)=

x

x2+1

为奇函数．
（2）当x∈（-1，1）时
∵函数f(x)=

x

x2+1

f"（x）=

1-x2

(x2+1)2

＞0恒成立
故f（x）在区间（-1，1）上为单调增函数；
（3）在（2）成立的条件下，不等式f（2x-1）+f（x）＜0可化为：

-1＜2x-1＜1 -1＜x＜1 x＜1-2x

解得：0＜x＜

1

3

∴不等式的解集为(0，

1

3

)．