已知f(x)是R上的单调函数,且对任意的实数a∈R,有f(-a)+f(a)=0恒成立,若f(-3)=2(Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由;(Ⅱ)解关
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已知f(x)是R上的单调函数,且对任意的实数a∈R,有f(-a)+f(a)=0恒成立,若f(-3)=2(Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由;(Ⅱ)解关
题型:解答题
难度:一般
来源:淮南一模
已知f(x)是R上的单调函数,且对任意的实数a∈R,有f(-a)+f(a)=0恒成立,若f(-3)=2
(Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由;
(Ⅱ)解关于x的不等式:
f(
m-x
x
)+f(m)<0
,其中m∈R且m>0.
答案
(Ⅰ)f(x)为R上的减函数.
理由如下:∵f(-a)+f(a)=0恒成立得f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,
又因f(x)是R上的单调函数,
由f(-3)=2,f(0)<f(-3),所以f(x)为R上的减函数.
(Ⅱ)由
f(
m-x
x
)+f(m)<0
,得
f(
m-x
x
)<-f(m)=f(-m)
,
结合(I)得
m-x
x
>-m
,整理得
(1-m)x-m
x
<0
当m>1时,
{
x
| x>0, 或x<
m
1-m
}
;
当m=1时,{x|x>0};
当0<m<1时,
{
x
| 0<x<
m
1-m
}
;
举一反三
已知函数
f(x)=
2-x
x+1
;
(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数;
(2)是否存在负数x
0
,使得
f(
x
0
)=
3
x
0
成立,若存在求出x
0
;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
3
x
+1,x<1
x
2
+ax, x≥1
,若f(f(0))=6,则a的取值等于( )
A.-1
B.1
C.2
D.4
题型:单选题
难度:简单
|
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已知
f(x)=
f(x-7),x≥0
log
5
|x|,x<0
,则f(2011)
等于( )
A.0
B.-1
C.2
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
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给出下列四个函数:①f(x)=lnx,②
f(x)=
1
x
,③
f(x)=(
1
π
)
x
,④f(x)=sinx,其中在(0,+∞)是增函数的有( )
A.0个
B.1个
C.2 个
D.3个
题型:单选题
难度:一般
|
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已知y=f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,恒有等式2f(x)+f(-x)-3•2
sinx
=0成立.
(1)试求f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在
[-
π
2
,
π
2
]
的单调性,并用单调性定义予以证明;
(3)若
f(x)=
3
2
2
,求满足条件的所有实数x的集合.
题型:解答题
难度:一般
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