已知函数f(x)=log21+x1-x,(x∈(-1,1).(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并证明.
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已知函数f(x)=log21+x1-x,(x∈(-1,1).(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lo
g
2
1+x
1-x
,(x∈(-1,1).
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并证明.
答案
(1)
f(-x)=lo
g
2
1+(-x)
1-(-x)
=lo
g
2
1-x
1+x
=lo
g
2
(
1+x
1-x
)
-1
=-lo
g
2
1+x
1-x
=-f(x)
又x∈(-1,1),所以函数f(x)是奇函数
(2)设-1<x<1,△x=x
2
-x
1
>0,
△y=f(
x
2
)-f(
x
1
)=lo
g
2
1+
x
2
1-
x
2
-lo
g
2
1+
x
1
1-
x
1
=lo
g
2
(1-
x
1
)(1+
x
2
)
(1+
x
1
)(1-
x
2
)
因为1-x
1
>1-x
2
>0;1+x
2
>1+x
1
>0所以
(1-
x
1
)(1+
x
2
)
(1+
x
1
)(1-
x
2
)
>1
所以
△y=lo
g
2
(1-
x
1
)(1+
x
2
)
(1+
x
1
)(1-
x
2
)
>0
所以函数
f(x)=lo
g
2
1+x
1-x
在(-1,1)上是增函数.
举一反三
定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4,且x∈(0,2)时,
f(x)=
3
x
9
x
+1
.
(1)求f(x)在[-2,2]上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性,并给予证明;
(3)当λ为何值时,关于方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解?
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∝]上单调增,则 f(-2),f(-π),f(3) 的大小顺序是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若f(2x+1)=x
2
+1,则f(0)的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
对于每一个实数x,设函数f(x)是y=4x+1,y=x+2,y=-2x+4三个函数中的最小值,则f(x)的最大值是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若f(n)为n
2
+1的各位数字之和(n∈N
*
).如:因为14
2
+1=197,1+9+7=17,所以f(14)=17.记f
1
(n)=f(n),f
2
(n)=f(f
1
(n)),…,f
k+1
(n)=f(f
k
(n)),k∈N
*
,则f
2005
(8)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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