已知f(x)=xx-a(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
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已知f(x)=xx-a(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)=
x
x-a
(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
答案
(1)证明任设x
1
<x
2
<-2,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
x
1
+2
-
x
2
x
2
+2
=
2(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+2(
x
2
+2)
.
∵(x
1
+2)(x
2
+2)>0,x
1
-x
2
<0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0即f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
(2)解任设1<x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
x
1
- a
-
x
2
x
2
- a
=
a×(
x
2
--
x
1
)
(x
1
- a)×(
x
2
-a)
∵a>0,x
2
-x
1
>0,
∴要使f(x
1
)-f(x
2
)>0,只需(x
1
-a)(x
2
-a)>0恒成立,
∴a≤1.
综上所述,0<a≤1.
举一反三
已知函数f(x)=a-
1
|x|
.
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)满足
f(x)=1+f(
1
2
)•lo
g
2
x
,则f(2)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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x
的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(4x-x
2
)的递增区间是______.
题型:填空题
难度:一般
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x-1
,则f(5)=______.
题型:填空题
难度:一般
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若f(x)=-x
2
+2ax与
g(x)=
a
x+1
在区间[1,2]上都是减函数,则a的值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
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