已知函数y=f(x)在定义域R上为减函数,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1,(1)证明:函数y=f(x)是奇函数.(2)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)在定义域R上为减函数,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1, (1)证明:函数y=f(x)是奇函数. (2)求不等式f(log2(x+2))+f(log2x)>3的解集. |
答案
(1)证明:∵对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=y=0得,f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0 令y=-x得,f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x) ∴函数f(x)为奇函数; (2)∵f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1 ∴f(3)=3 ∴不等式f(log2(x+2))+f(log2x)>3等价于不等式f(log2(x+2))+f(log2x)>f(3) ∵函数y=f(x)在定义域R上为减函数, ∴log2(x+2)+log2x<3 ∴,∴0<x<2 ∴不等式的解集为(0,2). |
举一反三
已知函数f(x)=log2. (Ⅰ)求函数的定义域; (Ⅱ)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)是增函数. |
下列函数中,既是单调函数又是奇函数的是( )A.y=x3 | B.y=3|x| | C.y=log3x | D.y=log2x3 |
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f (x),若-1≤x≤1时,f(x)=x,则( )A.f(43)<f(53)<f(60) | B.f(43)<f(60)<f(53) | C.f(53)<f(60)<f(43) | D.f(60)<f(53)<f(43) |
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已知函数f(x)=1+,g(x)=f(2x) (1)用定义证明函数g(x)在(-∞,0)上为减函数. (2)求g(x)在(-∞,-1]上的最小值. |
若函数f(x)满足f(n)=,则f(3)=______. |
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