已知函数f(x)=log2x1-x．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=log2

1-x

．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）是增函数．

答案

（Ⅰ）由

1-x

＞0得 x（1-x）＞0，解得 0＜x＜1，∴函数的定义域为（0，1）．
（Ⅱ）证明：任取x₁、x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=log2

1-x1

-log2

1-x2

=log2(

1-x1

•

1-x2

)=log2(

•

1-x2

1-x1

)．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1-x₂＜1-x₁＜1，∴0＜

＜1且 0＜

1-x2

1-x1

＜1，
即 0＜

•

1-x2

1-x1

＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）是增函数．

举一反三

下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是（　　）

A．y=x³

B．y=3^|x|

C．y=log₃x

D．y=log2x3

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设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f （x），若-1≤x≤1时，f（x）=x，则（　　）

A．f（43）＜f（53）＜f（60）	B．f（43）＜f（60）＜f（53）
C．f（53）＜f（60）＜f（43）	D．f（60）＜f（53）＜f（43）

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=1+

x-1

，g(x)=f（2^x）
（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

若函数f（x）满足f(n)=

，n=1

3f(n-1)

，n≥2

，则f（3）=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-2bx+

（1）b=1时，求函数的最值；
（2）若函数是单调函数，求b的取值范围．

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