已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax,(a∈R).(1)判断函数f(x)的对称性和奇偶性;(2)当a=2时,求使g2(x)f(x)=4x成立的x的集合;
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax,(a∈R). (1)判断函数f(x)的对称性和奇偶性; (2)当a=2时,求使g2(x)f(x)=4x成立的x的集合; (3)若a>0,记F(x)=g(x)-f(x),试问F(x)在(0,∞)是否存在最大值,若存在,求a的取值范围,若不存在,说明理由. |
答案
(1)由函数f(x)=可知,函数f(x)的图象关于直线x=a对称. 当a=0时,函数f(x)=|x|,显然是一个偶函数; 当a≠0时,取特殊值:f(a)=0,f(-a)=2|a|≠0. 即f(-x)≠, 故函数f(x)=|x-a|是非奇非偶函数. (2)若a=2,且g2(x)f(x)=4x 可得:x2|x-2|=x,得 x=0 或 x|x-2|=1; 因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+, 故所求的集合为{0,1,1+}. (3)对于 a>0,F(x)=g(x)-f(x)=ax-|x-a|= | (a+1)x-a (0<x<a) | (a-1)x+a (x≥a) |
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若a>1时,函数F(x)在区间(0,a),[a,+∞)上递增,无最大值; 若a=1时,F(x)=有最大值为1 若0<a<1时,F(x)在区间(0,a)上递增,在[a,+∞)上递减,F(x)有最大值 F(a)=a2; 综上所述得,当0<a≤1时,函数F(x)有最大值. |
举一反三
已知f(x)=,则f(x)>1 的解集为( )A.(-1,0)∪(0,e) | B.(-∞,-1)∪(e,+∞) | C.(-1,0)∪(e,+∞) | D.(-∞,1)∪(0,e) |
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已知函数f(x )=g(x)=,若g[f(x)]≥a恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0] | B.(-∞,1] | C.[0,1] | D.[-1,1] |
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解下列各题: (Ⅰ)计算:2log510+log50.4-3log52; (Ⅱ)已知x,y∈R+,且3x=22y=6,求+的值. |
下列函数中既是偶函数又是(-∞,0)上是增函数的是( ) |
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