已知函数f(x)=kx-1(0＜x＜k)3x4k-x2k(k≤x＜1)满足f(k2)=-78．（1）求常数k的值；（2）若f（x）-2a＜0恒成立，求a的取值范

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

kx-1 (0＜x＜k) 3x4k-x2k (k≤x＜1)

满足f(k2)=-

7

8

．
（1）求常数k的值；
（2）若f（x）-2a＜0恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）∵0＜k＜1，
∴k²＜k，
∴f(k2)=k3-1=-

7

8

，k3=

1

8

，k=

1

2

．

（2）由（1）得知：f(x)=

1 2 x-1(0＜x＜ 1 2 ) 3x2-x( 1 2 ≤x＜1)

，
当x∈(0，

1

2

)时，f（x）递增，得f(x)＜-

3

4

，
当x∈[

1

2

，1)时，f（x）递增，得f（x）＜f（1）=2，
又由2a＞f_max（x），
得2a≥2，
∴a的取值范围为：a≥1．