定义在R上的f(x),满足f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,m,n∈R,且f(1)≠0,则f(2012)的值为______.
题型:填空题难度:一般来源:江苏一模
定义在R上的f(x),满足f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,m,n∈R,且f(1)≠0,则f(2012)的值为______. |
答案
∵f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,对于任意的m,n∈R都成立且f(1)≠0, 令m=n=0可得,f(0)=f(0)+2f2(0),则f(0)=0 令m=0,n=1可得f(1)=f(0)+2f2(1) ∵f(1)≠0 ∴f(1)= ∵f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,对于任意的m,n∈R都成立 令n=1可得,f(m+1)=f(m)+2[f(1)]2,即f(m+1)-f(m)=2[f(1)]2= 由f(m+1)-f(m)=可得f(m)是以f(1)=为首项,以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式可得,f(m)=+(n-1)= ∴f(2012)=1006 故答案为:1006 |
举一反三
某地区预计明年从年初开始的前x个月内,对某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为: f(x)=1 | 150 | 若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是______. | 若函数f(x)对定义域中任意x,均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称; (1)已知f(x)=的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值; (2)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=-2x-n(x-1),求函数g(x)在x∈(-∞,0)上的解析式; (3)在(1)(2)的条件下,若对实数x<0及t>0,恒有g(x)+tf(t)>0,求正实数n的取值范围. | 已知函数f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足f(x+2)=-,当1<x<2时,f(x)=x,则f(2010.5)=______. | 已知函数f (x)=,则f (-)=______. |
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