已知直线l:mx-2y+2m=0(m∈R)和椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),椭圆C的离心率为22,连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22.(I)
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已知直线l:mx-2y+2m=0(m∈R)和椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),椭圆C的离心率为22,连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22.(I)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知直线l:mx-2y+2m=0(m∈R)和椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),椭圆C的离心率为
2
2
,连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2
2
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)设直线l经过的定点为Q,过点Q作斜率为k的直线l′与椭圆C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)设直线l与y轴的交点为P,M为椭圆C上的动点,线段PM长度的最大值为f(m),求f(m)的表达式.
答案
(I)由离心率
e=
2
2
,得
b=c=
2
2
a
又因为
2ab=2
2
,所以
a=
2
,b=1
,即椭圆标准方程为
x
2
2
+
y
2
=1
.(4分)
(II)由l:mx-2y+2m=0经过定点Q(-2,0),则直线l′:y=k(x+2),
由
y=k(x+2)
x
2
2
+
y
2
=1
有(2k
2
+1)x
2
+8k
2
x+8k
2
-2=0.
所以△=64k
4
-8(2k
2
+1)(4k
2
-1)>0,可化为 2k
2
-1<0
解得
-
2
2
<k<
2
2
. (8分)
(Ⅲ) 由l:mx-2y+2m=0,设x=0,则y=m,所以P(0,m).
设M(x,y)满足
x
2
2
+
y
2
=1
,
则|PM|
2
=x
2
+(y-m)
2
=2-2y
2
+(y-m )
2
=-y
2
-2my+m
2
+2=-(y+m)
2
+2m
2
+2,
因为-1≤y≤1,所以
当|m|>1时,|MP|的最大值f(m)=1+|m|;
当|m|≤1时,|MP|的最大值f(m)=
2
m
2
+2
;
所以f(m)=
1+|m|m>1
2
m
2
+2
|m|≤1
.(12分)
举一反三
下列函数中,在(0,1)上单调递减的是( )
A.y=
.
x-1
.
B.y=(x+1)
2
C.y=x
1
2
D.y=2
x+1
题型:单选题
难度:一般
|
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对任意两个不相等的实数a,b,定义在R上的函数f(x)总有
f(a)-f(b)
b-a
>0
成立,则必有( )
A.f(a)>f(b)
B.f(a)<f(b)
C.f(x)在R上是增函数
D.f(x)在R上是减函数
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(1)=4-1
2
(1)试判断函数f(1)的奇偶性,并证明函数f(1)在[0,+∞)是减函数;
(2)解不等式f(1)≥31.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知定义域为R的函数f(x)满足f(4-x)=-f(x),当x<2时,f(x)单调递减,如果x
1
+x
2
>4且(x
1
-2)(x
2
-2)<0,则f(x
1
)+f(x
2
)的值( )
A.等于0
B.是不等于0的任何实数
C.恒大于0
D.恒小于0
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设函数y=f(x)满足对任意的x∈R,f(x)≥0且f
2
(x+1)+f
2
(x)=9.已知当x∈[0,1]时,有f(x)=2-|4x-2|,则
f(
2013
6
)
的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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