已知函数f(x)=11-x+lg1+x1-x(1)求函数f(x)的定义域,并判断它的单调性(不用证明);(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明方程f-1(
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已知函数f(x)=11-x+lg1+x1-x(1)求函数f(x)的定义域,并判断它的单调性(不用证明);(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明方程f-1(
题型:解答题
难度:一般
来源:南汇区一模
已知函数
f(x)=
1
1-x
+lg
1+x
1-x
(1)求函数f(x)的定义域,并判断它的单调性(不用证明);
(2)若f(x)的反函数为f
-1
(x),证明方程f
-1
(x)=0有解,且有唯一解;
(3)解关于x的不等式f[x(x+1)]>1.
答案
(1)由
1+x
1-x
>0
,及1-x≠0,得:-1<x<1,
∴f(x)的定义域为(-1,1),…(2分)
由于
y=lg
1+x
1-x
=lg(-1+
2
1-x
)
和
y=
1
1-x
在(-1,1)上都是增函数,
∴f(x)在定义域(-1,1)内是增函数. …(4分)
(2)令x=0,得f(0)=1.即x=0是方程f
-1
(x)=0的一个解…(7分)
设x
1
≠0是f
-1
(x)=0的另一解,则由反函数的定义知f(0)=x
1
≠0,
这与f(0)=1矛盾,故f
-1
(x)=0有且只有一个解.…(10分)
(3)由f[x(x+1)]>1=f(0),且f(x)为定义在(-1,1)上的增函数,得0<x(x+1)<1,
解得
-
1+
5
2
<x<-1
或
0<x<
-1+
5
2
,这也即为不等式f[x(x+1)]>1的解.…(16分)
举一反三
已知f(x)是定义在R上的函数,且
f(x+
3
2
)[1-f(x)]=1+f(x)
,
f(2)=
3
-2
,则f(2009)值为( )
A.
2+
3
B.
2-
3
C.
3
-2
D.
-2-
3
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
x
x+1
+
x+1
x+2
+
x+2
x+3
+
x+3
x+4
,则
f(-
5
2
+
2
)+f(-
5
2
-
2
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)=x
2
-2017x+8052+|x
2
-2017x+8052|,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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f(x)=
-
2
x
, x<0
3+lo
g
2
x , x>0
,则f(f(-1))等于( )
A.-2
B.2
C.-4
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
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题型:填空题
难度:简单
|
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