设函数f(x)=x|x-1|+m,g(x)=lnx.(1)当m>1时,求函数y=f(x)在[0,m]上的最大值;(2)记函数p(x)=f(x)-g(x),若函数
题型:解答题难度:一般来源:韶关模拟
设函数f(x)=x|x-1|+m,g(x)=lnx. (1)当m>1时,求函数y=f(x)在[0,m]上的最大值; (2)记函数p(x)=f(x)-g(x),若函数p(x)有零点,求m的取值范围. |
答案
(1)当x∈[0,1]时,f(x)=x(1-x)+m=-x2+x+m=-(x-)2+m+ ∴当x=时,f(x)max=m+ 当x∈(1,m]时,f(x)=x(x-1)+m=x2-x+m=(x-)2+m- ∵函数y=f(x)在(1,m]上单调递增,∴f(x)max=f(m)=m2 由m2≥m+得:m2-m-≥0又m>1⇒m≥. ∴当m≥时,f(x)max=m2; 当1<m<时,f(x)max=m+. (2)函数p(x)有零点即方程f(x)-g(x)=x|x-1|-lnx+m=0有解, 即m=lnx-x|x-1|有解 令h(x)=lnx-x|x-1|,当x∈(0,1]时,h(x)=x2-x+lnx ∵h′(x)=2x+-1≥2-1>0 ∴函数h(x)在(0,1]上是增函数,∴h(x)≤h(1)=0 当x∈(1,+∞)时,h(x)=-x2+x+lnx. ∵h′(x)=-2x++1==-<0 ∴函数h(x)在(1,+∞)上是减函数,∴h(x)<h(1)=0 ∴方程m=lnx-x|x-1|有解时,m≤0, 即函数p(x)有零点时m≤0 |
举一反三
定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+b≤0,给出下列不等式: ①f(a)•f(-a)≤0; ②f(b)•f(-b)≥0; ③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b); ④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 其中正确的不等式序号是( ) |
设函数f(x)=为奇函数. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)利用函数单调性的定义判断f(x)在其定义域上的单调性. |
某工厂为某工地生产容器为π(米3)的无盖圆柱形容器,容器的底面半径为r(米),而且制造底面的材料每平方米为30元,制造容器的材料每平方米为20元,设计时材料的厚度可忽略不计. (1)制造容器的成本y(元)表示成r的函数; (2)工地要求容器的底面半径r∈[2,3](米),问如何设计容器的尺寸,使其成本最低?,最低成本是多少?(精确到元) |
设f(n)为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如f(123)=12+22+32.记f1(n)=f(n),fk+1(n)=f[fk(n)](k=1,2,3,…),则f2007(2007)=______. |
已知f(x)是奇函数,在(-1,1)上是减函数,且满足f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的范围. |
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