已知函数f(x)=|x+m-1|x-2,m>0且f(1)=-1.(1)求实数m的值;(2)判断函数y=f(x)在区间(-∞,m-1]上的单调性,并用函数单调性的

已知函数f(x)=|x+m-1|x-2,m>0且f(1)=-1.(1)求实数m的值;(2)判断函数y=f(x)在区间(-∞,m-1]上的单调性,并用函数单调性的

题型:解答题难度:一般来源:嘉定区一模
已知函数f(x)=
|x+m-1|
x-2
,m>0且f(1)=-1.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数y=f(x)在区间(-∞,m-1]上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)求实数k的取值范围,使得关于x的方程f(x)=kx分别为:
①有且仅有一个实数解;
②有两个不同的实数解;
③有三个不同的实数解.
答案
(1)由f(1)=-1,得
|m|
-1
=-1
,|m|=1,
∵m>0,∴m=1. (4分)
(2)由(1),m=1,从而f(x)=
|x|
x-2
,只需研究f(x)在(-∞,0]上的单调性.
当x∈(-∞,0]时,f(x)=
-x
x-2

设x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
-x1
x1-2
-
-x2
x2-2
=
2(x1-x2)
(x1-2)(x2-2)
,(6分)
∵x1<x2≤0,∴x1-x2<0,x1-2<0,x2-2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调递增函数. (10分)
(3)原方程即为
|x|
x-2
=kx
…①
x=0恒为方程①的一个解. (11分)
若x<0时方程①有解,则
-x
x-2
=kx
,解得x=2-
1
k

2-
1
k
<0
,得 0<k<
1
2
; (13分)
若x>0且x≠2时方程①有解,则
x
x-2
=kx
,解得x=2+
1
k

2+
1
k
>0
2+
1
k
≠2
,得k<-
1
2
或k>0. (15分)
综上可得,当k∈[-
1
2
,0]
时,方程f(x)=kx有且仅有一个解;
k∈(-∞,-
1
2
)∪[
1
2
,+∞)
时,方程f(x)=kx有两个不同解;
k∈(0,
1
2
)
时,方程f(x)=kx有三个不同解.   (18分)
举一反三
定义在R上的偶函数f(x),满足f(2+x)=f(2-x),且当x∈[0,2]时,f(x)=


4-x2
,则f(2008)=______.
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下列函数中,在其定义域内,既是单调递增函数,又是奇函数的是(  )
A.f(x)=sinx+x2B.f(x)=
1
x3
+x
C.f(x)=lnx-
1
x
D.f(x)=3x-3-x
已知函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=ax+
1
x2

(1)求函数y=f(x)在(0,1]上的函数解析式;
(2)当a>-2时,判断函数y=f(x)在(0,1]上的单调性,并给出说明.
函数y=
1


3+2x-x2
单调减区间是______.