已知函数f(x)=4x+a•4-x是偶数,(1)求a的值;(2)若F(x)=f(x)4x,用定义证明:F(x)在R上为单调递减函数.
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已知函数f(x)=4x+a•4-x是偶数,(1)求a的值;(2)若F(x)=f(x)4x,用定义证明:F(x)在R上为单调递减函数.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=4
x
+a•4
-x
是偶数,
(1)求a的值;
(2)若F(x)=
f(x)
4
x
,用定义证明:F(x)在R上为单调递减函数.
答案
(1)∵函数f(x)=4
x
+a•4
-x
是偶数,
∴f(-x)=f(x),
即a•4
x
+4
-x
=4
x
+a•4
-x
⇒a=1.
(2)由(1)得:
F(x)=1+
1
4
2x
,以下证明F(x)在R上为单调递减函数:
设x
1
<x
2
,∵
F(
x
1
)-F(
x
2
)=1+
1
4
2
x
1
-1-
1
4
2
x
2
=
1
4
2(
x
1
+
x
2
)
(
4
2
x
2
-
4
2
x
1
)
易知:x
1
<x
2
⇒
4
2
x
2
>
4
2
x
1
,
4
2(
x
1
+
x
2
)
>0
,
∴F(x
1
)>F(x
2
)
因此,F(x)在R上为单调递减函数.
举一反三
若函数f(x)=
1
x-2
(x≠2)
,则f(x)( )
A.在(-2,+∞),内单调递增
B.在(-2,+∞)内单调递减
C.在(2,+∞)内单调递增
D.在(2,+∞)内单调递减
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=|x|+
4
|x|
;当x∈[-3,-1]时,记f(x)的最大值为m,最小值为n,则m+n=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设奇函数f(x)的定义域为实数集R,且满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,1)时,f(x)=2
x
-1.则
f(0)+f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)
的值为( )
A.
2
+1
B.
2
-1
C.0
D.1-
2
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
|x+m-1|
x-2
,m>0且f(1)=-1.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数y=f(x)在区间(-∞,m-1]上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)求实数k的取值范围,使得关于x的方程f(x)=kx分别为:
①有且仅有一个实数解;
②有两个不同的实数解;
③有三个不同的实数解.
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在R上的偶函数f(x),满足f(2+x)=f(2-x),且当x∈[0,2]时,f(x)=
4-
x
2
,则f(2008)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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