已知函数f（x）=4x+a•4-x是偶数，（1）求a的值；（2）若F（x）=f(x)4x，用定义证明：F（x）在R上为单调递减函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=4^x+a•4^-x是偶数，
（1）求a的值；
（2）若F（x）=

f(x)

4x

，用定义证明：F（x）在R上为单调递减函数．

答案

（1）∵函数f（x）=4^x+a•4^-x是偶数，
∴f（-x）=f（x），
即a•4^x+4^-x=4^x+a•4^-x⇒a=1．
（2）由（1）得：F(x)=1+

1

42x

，以下证明F（x）在R上为单调递减函数：
设x₁＜x₂，∵F(x1)-F(x2)=1+

1

42x1

-1-

1

42x2

=

1

42(x1+x2)

(42x2-42x1)
易知：x₁＜x₂⇒42x2＞42x1，42(x1+x2)＞0，
∴F（x₁）＞F（x₂）
因此，F（x）在R上为单调递减函数．