已知函数f（x）=4x+a•4-x是偶数，（1）求a的值；（2）若F（x）=f(x)4x，用定义证明：F（x）在R上为单调递减函数．

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已知函数f（x）=4x+a•4-x是偶数，（1）求a的值；（2）若F（x）=f(x)4x，用定义证明：F（x）在R上为单调递减函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=4x+a•4-x是偶数，
（1）求a的值；
（2）若F（x）=
f(x)
4x
，用定义证明：F（x）在R上为单调递减函数．
答案
（1）∵函数f（x）=4x+a•4-x是偶数，
∴f（-x）=f（x），
即a•4x+4-x=4x+a•4-x⇒a=1．
（2）由（1）得：F(x)=1+
1
42x
，以下证明F（x）在R上为单调递减函数：
设x1＜x2，∵F(x1)-F(x2)=1+
1
42x1
-1-
1
42x2
=
1
42(x1+x2)
(42x2-42x1)
易知：x1＜x2⇒42x2＞42x1，42(x1+x2)＞0，
∴F（x1）＞F（x2）
因此，F（x）在R上为单调递减函数．
举一反三
若函数f（x）=
1
x-2
(x≠2)，则f（x）（　　）
A．在（-2，+∞），内单调递增B．在（-2，+∞）内单调递减
C．在（2，+∞）内单调递增D．在（2，+∞）内单调递减
题型：单选题难度：简单| 查看答案
已知函数f(x)=|x|+
4
|x|
；当x∈[-3，-1]时，记f（x）的最大值为m，最小值为n，则m+n=______．
题型：填空题难度：简单| 查看答案
设奇函数f（x）的定义域为实数集R，且满足f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1）时，f（x）=2x-1．则f(0)+f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)的值为（　　）
A．


2
+1		B．


2
-1		C．0D．1-


2
题型：单选题难度：一般| 查看答案
已知函数f(x)=
|x+m-1|
x-2
，m＞0且f（1）=-1．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：
①有且仅有一个实数解；
②有两个不同的实数解；
③有三个不同的实数解．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
定义在R上的偶函数f（x），满足f（2+x）=f（2-x），且当x∈[0，2]时，f（x）=


4-x2
，则f（2008）=______．
题型：填空题难度：简单| 查看答案
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