设函数f(x)的定义域关于原点对称,对定义域内任意的x存在x1和x2,使x=x1-x2,且满足:(1)f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)•f

设函数f(x)的定义域关于原点对称,对定义域内任意的x存在x1和x2,使x=x1-x2,且满足:(1)f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)•f

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)的定义域关于原点对称,对定义域内任意的x存在x1和x2,使x=x1-x2,且满足:
(1)f(x1-x2)=
f(x1)-f(x2)
1+f(x1)•f(x2)

(2)当0<x<4时,f(x)>0
请回答你列问题:
(1)判断函数的奇偶性并给出理由;
(2)判断f(x)在(0,4)上的单调性并给出理由.
答案
(1)函数f(x)在定义域内是奇函数.
因为在定义域内,对任意x存在x1和x2,使x=x1-x2,且满足:f(x1-x2)=
f(x1)-f(x2)
1+f(x1)•f(x2)

由于函数f(x)的定义域关于原点对称,-x必与x同时在定义域内,
同样存在x1和x2,使-x=x2-x1,且满足:f(-x)=f(x2-x1)=
f(x2)-f(x1)
1+f(x2)•f(x1)
,即f(x)=-f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)在定义域内是奇函数.
(2)函数f(x)在(0,l)上是单调递增函数.
任意取x1,x2∈(0,l),且x1<x2,则x2-x1>0,
∵函数f(x)在定义域内是奇函数,且当0<x<l时,f(x)>0,
∴f(x1)>0,f(x2)>0,f(x1-x2)=-f(x2-x1)<0,
又∵f(x1-x2)=
f(x1)-f(x2)
1+f(x1)•f(x2)

∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在(0,l)上是单调递增函数.
举一反三
定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是减函数,当x∈[0,
π
2
),f(sin2x-msinx+m)+f(-2)>0恒成立,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
在f1(x)=x
1
2
,f2(x)=x2,f3(x)=2x,f4(x)=log
1
2
x四个函数中,x1>x2>1时,能使
1
2
[f(x1)+f(x2)]<f(
x1+x2
2
)
;成立的函数是(  )
A.f1(x)=x
1
2
B.f2(x)=x2C.f3(x)=2xD.f4(x)=log
1
2
x
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=


x2+1
-ax
,其中a>0,
(1)解不等式f(x)≤1;
(2)证明:当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞]上是单调函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=x4-8x2+2在[-1,3]上的最大值为(  )
A.11B.2C.12D.10
题型:单选题难度:一般| 查看答案
当x为何值时,函数y=x2-8x+5的值最小,并求出这个最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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