已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，（
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数； |
答案
（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x1=x2=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．
（2）证明：设x2＞x1＞0，则
f（x2）-f（x1）=f（x1• ）-f（x1）
=f（x1）+f（）-f（x1）=f（ ）．
∵x2＞x1＞0，∴＞1．
∴f（ ）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0．
∴f（x2）＞f（x1）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数． |
举一反三
| 函数y=在区间（-∞，a）上是增函数，则a的取值范围是 ______． |
| 定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；④g(x)=x为函数f（x）=x2的一个承托函数．其中正确的命题有______． |
设函数f（x）的定义域关于原点对称，对定义域内任意的x存在x1和x2，使x=x1-x2，且满足：
（1）f(x1-x2)=；
（2）当0＜x＜4时，f（x）＞0
请回答你列问题：
（1）判断函数的奇偶性并给出理由；
（2）判断f（x）在（0，4）上的单调性并给出理由． |
| 定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是减函数，当x∈[0，），f（sin2x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是______． |
在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，x1＞x2＞1时，能使[f(x1)+f(x2)]＜f()；成立的函数是（ ）| A．f1（x）=x | B．f2（x）=x2 | C．f3（x）=2x | D．f4（x）=logx |
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