设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)求证:y=f(x)是奇函数; (2)求
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证:y=f(x)是奇函数; (2)求证:函数y=f(x)在R上为减函数. (3)试问在-3≤x≤3时,f(x)是否有最值?若有求出最值;若没有,说出理由. |
答案
证明:(1)令x=y=0,则有f(0)=2f(0)⇒f(0)=0. 令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. …(5分) (2)任取x1<x2,则x2-x1>0.⇒f(x2-x1)<0. ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0, ∴f(x1)>f(x2), ∴y=f(x)在R上为减函数. …(10分) (3)由(2)y=f(x)在R上为减函数, ∴y=f(x)在[-3,3]上为减函数,f(3)为函数的最小值,f(-3)为函数的最大值. 又f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6, ∴函数最大值为6,最小值为-6…(14分) |
举一反三
若函数f(x)=,则满足f(a)=1的实数a的值为______. |
已知函数f(x)=cosx+πlnx,则f′()=______. |
函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数f′(x)>,则不等式f(x)<的解集为______. |
设函数f(x)= | x-3,(x≥10) | f(f(x+5)),(x<10) |
| | ,则f(5)=______. |
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