函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′（x）＞12，则不等式f（x）＜x+12的解集为______．

题型：填空题难度：一般来源：辽宁模拟

函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′（x）＞

1

2

，则不等式f（x）＜

x+1

2

的解集为______．

答案

设g（x）=f（x）-

x+1

2

，
因为f（1）=1，f"（x）＞

1

2

，
所以g（1）=f（1）-1=0，g′（x）=f′（x）-

1

2

＞0，
所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．
所以f（x）＜

x+1

2

的解集即是g（x）＜0=g（1）的解集．
∴x＜1．
故答案为：（-∞，1）．