已知函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x),g(x)=log4(3x+1)(1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性;(2)若f-1(x)≤g(x),
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已知函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x),g(x)=log4(3x+1) (1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性; (2)若f-1(x)≤g(x),求x的取值集合D. |
答案
(1)∵函数f(x)=2x+1,∴x=log2(f(x)-1),∴f-1(x)=log2(x-1) (x>1), 设 m>n>1,f-1(m)-f-1(n)=, ∵m-1>n-1>0,∴>1, ∴>0, ∴f-1(m)-f-1(n)>0,f-1(m)>f-1(n), f-1(x)在其定义域(1,+∞)内是增函数.
(2)∵f-1(x)≤g(x), ∴log2(x-1)≤log4(3x+1), ≤log4(3x+1), ∴,1<x≤5, ∴x的取值集合D=(1,5]. |
举一反三
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (I)求f (x)的最小值h(t); (II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=-log2是奇函数. (1)求m的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明. |
已知f(x)=sin(+α),且f(2009)=1,则f(2010)=______. |
设函数f(x)在x=1处连续,且=2则f(1)等于( ) |
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