已知函数f(x)=x+1x.(1)判断f(x)的奇偶性并证明;(2)判断f(x)在(0,1]上的单调性并加以证明;(3)求f(x)的值域.
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已知函数f(x)=x+1x.(1)判断f(x)的奇偶性并证明;(2)判断f(x)在(0,1]上的单调性并加以证明;(3)求f(x)的值域.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
x+
1
x
.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断f(x)在(0,1]上的单调性并加以证明;
(3)求f(x)的值域.
答案
(1)因为函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
所以f(-x)=-x-
1
x
=-(x+
1
x
)=-f(x)奇函数) …(3分)
(2)f(x)在(0,1]上的单调递减
设0<x
1
<x
2
≤1,
则0<x
1
x
2
<1,x
1
-x
2
<0
∴
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(
x
1
-
x
2
)+(
1
x
1
-
1
x
2
)
=
(
x
1
-
x
2
)+(
x
2
-
x
1
x
1
x
2
)
=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-1)
x
1
x
2
>0
即f(x
1
)>f(x
2
),
所以f(x)在(0,1]上的是单调递减函数…(8分)
(3)由(2)同理可证f(x)在[1,+∞)上的是单调递增函数,
又f(x)在(0,1]上的是单调递减函数,
∴x>0时,f(x)
min
=f(1)=2.
而f(x)为奇函数,其图象关于原点对称
∴x<0时,f(x)
max
=f(-1)=-2.
所以函数f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).…(12分)
举一反三
函数
f(x)=
ax+b
x
2
+1
是奇函数,且
f(
1
2
)=
2
5
,
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:f(x)在(-1,1)上是增函数.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若函数g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( )
A.9
B.7
C.5
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知ω为正实数,函数f(x)=2sinωx在区间
[-
π
3
,
π
4
]
上递增,那么( )
A.
0<ω≤
24
7
B.0<ω≤2
C.
0<ω≤
3
2
D.
ω≥
3
2
题型:单选题
难度:简单
|
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定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)等于
( )
A.2
B.3
C.6
D.9
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数
y=
-
x
2
+3x-2
的递增区间为( )
A.
(-∞,
3
2
)
B.
(
3
2
,+∞)
C.
(
3
2
,2)
D.
(1,
3
2
)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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