探究函数f(x)=2x+8x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…16

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探究函数f(x)=2x+8x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…16

题型：解答题难度：一般来源：不详
探究函数f(x)=2x+
8
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
答案
举一反三
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x…0.511.51.71.922.12.22.33457…
y…16108.348.18.0188.018.048.088.61011.615.14…
（1）∵x＞0，∴2x+
8
x
≥2


2x•
8
x
=8
当且仅当x=2时，函数f(x)=2x+
8
x
的最小值为8
由此可得函数在区间（0，2）上递减；在区间（2，+∞）上递增
故答案为：（2，+∞），2，4．…（4分）
（2）证明：设x1，x2是区间（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2，可得
f(x1)-f(x2)=2x1+
8
x1
-(2x2+
8
x2
)
=2(x1-x2)+
8
x1
-
8
x2
=2(x1-x2)(1-
4
x1x2
)
=
2(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵x1＜x2且x1，x2∈（0，2），可得x1-x2＜0，x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
由此可得函数在（0，2）上为减函数．（10分）
（3）根据函数在{x|x≠0}上为奇函数，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下结论：
函数y=x+
4
x
，当x＜0时，有最大值
当x=-2时，ymax=-4．（12分）
已知a＞0且a≠1，f(logax)=
a(x2-1)
x(a2-1)
．
试判断f（x）在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？并证明结论．
函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（　　）
A．0＜a≤
1
5
B．0≤a≤
1
5
C．0＜a＜
1
5
D．a＞
1
5
已知函数f（x）=
2
x
-xm，且f（4）=-
7
2
．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
已知函数y=f（x）在R上是增函数，且f（2m+1）＞f（3m-4），则m的取值范围是（　　）
A．（-∞，5）B．（5，+∞）C．（-5，+∞）D．（-∞，5）
已知函数f（x）=
x 2+ax+a
x
，且a＜1．
（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）设函数g（x）=x•f（x）+|x2-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并比较
1
x1
+
1
x2
与4的大小．